从基本解构造自由Poisson方程的解

基本解

Dirac 测度

$δ (x)$ 称为 Dirac 测度，满足：

\int_{R^{n}} f (x) δ (x) \d x = f (0) .

定义基本解为在广义函数意义下满足方程

\laplace Γ (x) = δ (x)

的解 $Γ$ ．其表达式为

Γ (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2 π} \ln r, & n = 2 \\ - \frac{1}{4 π r}, & n = 3 \end{cases}

这里 $α (n)$ 为 $n$ 维单位球的体积．

由 $\laplace Γ = δ$ ，则

f = f * δ = f * (\laplace Γ) = Δ (f * Γ) .

因此，令 $u = Γ * f$ ，则 $\laplace u = f$ ， $\forall x \in R^{n} ∖ {0}$ ．对 $0$ 处，可以由第二 Green 公式计算逼近证明．

u (x) = \int_{R^{m}} Γ (x - y) f (y) \d y + C

为位势方程在全空间 $R^{n}$ 上的所有有界解．