从基本解构造自由Poisson方程的解

#基本解 #Green函数

基本解

Dirac 测度

δ(x) 称为 Dirac 测度,满足:

Rnf(x)δ(x)\dx=f(0).

定义基本解为在广义函数意义下满足方程

\laplaceΓ(x)=δ(x)

的解 Γ .其表达式为

Γ(x)={12πlnr,n=214πr,n=3

这里 α(n)n 维单位球的体积.

基本解卷积非齐次项为自由 Poisson 方程的解

\laplaceΓ=δ,则

f=fδ=f(\laplaceΓ)=Δ(fΓ).

因此,令 u=Γf,则 \laplaceu=fxRn{0} . 对 0 处,可以由第二 Green 公式计算逼近证明.

定理:全空间位势方程的有界解

u(x)=RmΓ(xy)f(y)\dy+C

为位势方程在全空间 Rn 上的所有有界解.